Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 321 
Mit Hilfe von 
ergibt sieb 
nax n ' 
_ «y 
x 
als Differentialgleichung der gegebenen Curvenschar und daraus 
y = — 
als Differentialgleichung ihrer orthogonalen Trajectorien. Die 
Yariabeln lassen sich unmittelbar trennen und die Integration 
liefert 
X 2 -f- ny 2 = c. 
Die Trajectorien bilden also eine Schar homothetischer Ellipsen 
oder Hyperbeln, jenachdem n > 0 oder n < 0. 
2) Die orthogonalen Trajectorien des Kreisbüschels mit 
den Grundpunkten —a/0, a/0 zu bestimmen. 
Aus der endlichen Gleichung dieses Kreisbüschels 
x 2 —(— y 2 — 2by — d 2 = 0 
und aus 
® + yy~ W== 0 
ergibt sich durch Elimination des veränderlichen Parameters h 
die Differentialgleichung 
— a 2 )äy — 2xydx = 0, 
O 2 
y 
daraus aber entspringt 
(/3) (x 2 — y 2 — a 2 )dx -(- 2xydy 
als Differentialgleichung der or 
thogonalen Trajectorien. Ihre 
Integration kann man sich mit 
Hilfe folgender Bemerkung er 
sparen: Es geht die Gleichung 
(/3) aus (a) hervor, wenn man 
x mit y vertauscht und das _ 
Zeichen von a 2 ändert; durch 
dieselben Änderungen erhält 
man aus der Gleichung des 
Kreisbüschels diejenige seiner 
Trajectorien, nämlich 
-f- y* — 2cx -f- a 2 
Czuber, Vorlesungen. II. 
= 0 
Fig. 182. 
Y 
0.