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Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Durch Differentiation entsteht 
nr n—1/ = na n cos«<p, 
und die Elimination von a n ergibt die Differentialgleichung 
(a) r tosny — /sinw(p = 0. 
Die Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorien 
— ersetzt, und lautet 
r 7 
entsteht hieraus, wenn man r durch 
0. 
X 
ersetzt, 
7 r 
daher 
(/3) r cosncp r sin n(p 
Durch die Transformation 
r = r 1} cp = cp 1 ^ r -~ 
geht aber die Gleichung (ß) über in 
cos ncp 1 — r t ' sin ncp 1 = 0 
und stimmt dann mit («) überein. Die angegebene Transfor 
mation besteht aber in einer Drehung um den Pol durch den 
Winkel . Das System der or- vig. iss. 
thogonalen Trajectorien des vor 
gelegten Curvensystems ist also 
ein congruentes System, gegen 
das erste jedoch um den Winkel 
h g edreht - 
Für n — 1 ergeben sich 
zwei orthogonale Berührungskreis 
büschel, das eine r = asin<p, das andere r~acoscp. 
Für n — 2 erhält man zwei Systeme von Lemniscaten, 
um 45° gegen einander gedreht, Fig. 183; ihre Gleichungen 
sind r = a]/sin2<p und r = aj/cos2<p (284,3)). 
5) Die isogonalen Trajectorien eines Strahlenbüschels zu 
bestimmen. 
Die einfachste analytische Darstellung hat ein Strahlen 
büschel im Polarsystem, wenn man seinen Mittelpunkt mit 
dem Pole zusammenfallen lässt; seine Gleichung lautet dann 
<p = c. 
Daraus entspringt die Differentialgleichung 
dcp = 0,