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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Dem Falle zweier Differentialgleichungen zwischen drei 
Yariabeln 
dx dy dz 
(7) 
X Y Z 
kommt folgende geometrische Bedeutung zu. Jedem Punkte 
xjy/z des Raumes entspricht vermöge (7) ein bestimmtes 
Verhältnis dx:dy:dz, und dieses charakterisirt die Richtung 
einer durch diesen Punkt laufenden Geraden. Sonach bestim 
men x/y / Z] dx : dy : dz ein Linienelement im Raume. Bewegt 
sich nun der Punkt x/y/z derart, dass seine Bewegungsrich 
tung in jedem Augenblicke durch das seiner momentanen Lage 
entsprechende dx; dy : dz gekennzeichnet ist, so beschreibt er 
im Allgemeinen eine Raumcurve, welche, da sie in allen ihren 
Punkten dem Gleichungssysteme (7) genügt, als eine Integral- 
curve dieses Systems zu bezeichnen ist. Die oo 3 Linien 
elemente, welche durch (7) definirt sind, ordnen sich solcher 
Art zu oo 2 Integralcurven. Damit stimmt denn auch das 
Auftreten zweier willkürlichen Constanten in den Integralen von 
(7) überein; jede der oo 2 Wertverbindungen dieser Constanten 
führt zu einer speciellen Curve. 
In dem obigen Beispiele ist das System der Integralcurven 
durch das Gleichungspaar (6) oder auch durch die beiden Glei 
chungen (4) und (5*) dargestellt. Die letzteren lassen sie 
sogleich als Hyperbeln erkennen, nämlich als Schnitte der 
hyperbolischen Cylinder y 2 — z 2 =a mit den Ebenen y-\-z=bx. 
331. Beispiele. 1) Die Differentialgleichungen 
dx dy dz 
x y z 
bestimmen das Bündel der Geraden durch den Ursprung; denn 
ihre Integrale sind 
y = ax, z = by\ 
durch jeden Punkt des Raumes geht eine Integrallinie, aus 
genommen den Ursprung, in welchem dx : dy : dz unbe 
stimmt ist. 
2) Auf die Differentialgleichungen 
dx 
dy dz 
yx — cez ccy — ßx 
ßz — yy