336 
Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
iß) Ax + Byy = 0 
und eliminirt einmal B, ein zweitesmal A, so ergeben sich die 
beiden Differentialgleichungen erster Ordnung 
(y) (1 — Ax 2 )y -J- Axy = 0 
(d) Bxyy — By 2 -f-l=0. 
Fügt man zu (cc) und (/3) noch die weitere Grleichung 
W A + By 2 + By'f= 0 
und eliminirt A sowohl als B, so kommt man zu der Diffe 
rentialgleichung zweiter Ordnung 
0?) xyf + xy 2 — yy = 0, 
welche alle Curven des Systems (a) kennzeichnet, während 
durch (y), (d) nur gewisse einfach unendliche Scharen derselben 
charakterisirt sind. 
Führt man in (rj) q an Stelle von y" ein, so entsteht 
+ %y 2 Q ~ yy 9 = 0; 
diese Grleichung gibt beispielsweise für x = y = a und y = — 1 
q — — a]/2, 
d. h. von den durch den Punkt a/a laufenden Curven des 
Systems (a)'hat diejenige, deren Tangente unter 135° zur 
a?-Axe geneigt ist, daselbst den Krümmungsradius —a]/2, ist 
also (a > 0 vorausgesetzt) concav nach unten und somit eine 
Ellipse. Dagegen liefert x = — y = a und y = 1 
q = a Y 2, 
d. h. die durch a/ — a mit einer unter 45° zur Abscissenaxe 
geneigten Tangente verlaufende Curve des Systems ist concav 
nach oben und hat dieselbe Krümmung wie die vorige. Beide 
Elemente betreffen dieselbe Ellipse. 
In Bezug auf (rj) sind (y) und (d) zwei erste Integrale 
und die Elimination von y zwischen beiden gibt 
= 1 — Ax 2 —- By 2 — 0, 
1 — Ax 2 Axy 
Bxy 1 — By 2 
also thatsächlich das allgemeine Integral (a). 
Um von der Differentialgleichung (rf) auf directem Wege 
zu ihrem allgemeinen Integrale zu gelangen, könnte man von