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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
deren Wurzeln -f- a, —a sind; daher ist 
y = c x e ax -f- c 2 e~ ax 
ihr allgemeines Integral. 
341. Eine besondere Besprechung erfordern die complexen 
und die mehrfachen Wurzeln der charakteristischen Gleichung. 
Ein Paar conjugirt complexer Wurzeln, wie cc -(- ßi und 
u — ßi, liefert zu dem allgemeinen Integrale den Bestandtheil 
(^efv+W* -j- c 2 e^ a ~?^ x 
wofür nach 103 geschrieben werden kann 
e ax [c x (cos ßx -f- i sin ßx) -f- c 2 (cos ßx — i sin ßx)] ; 
bezeichnet man die willkürlichen Constanten c x -\- c 2 , i(c x — cf) 
mit C x , C 2 , so nimmt dies den Ausdruck 
(6) 
e ax [C x cos ßx -f- C 2 sin ßx] 
an. Hiernach führt ein Paar conjugirt complexer Wurzeln zu 
einem aus einer Exponentialfunction und trigonometrischen 
Functionen zusammengesetzten Beitrage zum allgemeinen Inte 
grale, welcher in dem Falle a = 0, d. i. für rein imaginäre 
Wurzeln, rein trigonometrisch wird. 
Hat die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln, 
so scheint es zunächst, als ob man nicht die zur Bildung des 
allgemeinen Integrals nöthige Anzahl particulärer Integrale 
erhalten könnte; die folgende Betrachtung wird jedoch zeigen, 
dass eine A-fache Wurzel r x genau auf A verschiedene Inte 
grale .führt. 
Mit Benützung der Substitution 
welche zu den Ableitungen 
y = r x e r ' x zdx -(- ze r ' x 
y" — rf z e r '- x zdx -f- 2r x ze riX -j- z e riX 
y”— r x 3 e ViX j^zdx -j- 3 r x 2 ze riX -f- 3r x z'e riX -j- z’ e ri x 
f„\ n 7 
yW= n e 
e riX J*zdx + (^j 
71—1 
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