Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 353 
Anlass gibt, verwandelt sieb nämlich die Gleichung (1) in die 
folgende: * 
e r * x \jjr-L 71 -{-% —1 -}- a 2 r x n ~‘ 2 -{-•*• + a n)J*zdx 
+ + (» — l)a 1 r 1 w “ 2 + • • • + 
+ (*(»— l)*i n-a + («■— 1)(«■— 2)%ri n “ 3 4 (-2 a M _ 2 )/+ 
••• + «<—«] = 0, 
wofür, wenn man die linke Seite der charakteristischen Glei 
chung (3) mit co(r) bezeichnet, kürzer geschrieben werden kann: 
co (r x )J*z dx -f- z -f- yy /-f 
+ “(1 i)i' + • • • + *<—»)-- 0. 
Da aber r x eine A-fache Wurzel von (3) ist, so hat man 
(o(r x ) = 0, co'(r x ) = 0,... co^ - D(r x ) = 0, 
während co w (r 1 )^0; infolge dessen vereinfacht sich obige 
Gleichung zu 
V. 
+ 
a (Z + 1) (r 1 ) 
ß ~h 1)! 
№ -\ [- = 0. 
Dieser Gleichung aber genügt jedes z, dessen Ableitungen von 
der (A— l)-ten Ordnung angefangen identisch Null sind; der 
allgemeinste Ausdruck, dem diese Eigenschaft zukommt, ist 
die mit beliebigen Coefficienten gebildete rationale Function 
A — 2-ten Grades, nämlich 
0 = Co + CxX -) (- c^-gr 1 - 2 ; 
daraus ergibt sich, mit abgeänderter Bezeichnung der Con- 
stanten, 
j*>zdx = G 0 + C x x -f- C 2 x 2 + • • • + \xß 1 . 
Mithin ist der aus der A-fachen Wurzel r x entspringende Theil 
des allgemeinen Integrals 
(7) e r ' x J*izdx = e r ' x [C 0 -f- C x x -f- C 2 x 2 -j- • • • -f- Cx—ix 1 - 1 ].^ 
er besteht, wie es der Multiplicität der Wurzel entspricht, 
aus A verschiedenen Integralen