Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Das allgemeine Integral y von (1) kann man durch die 
rechte Seite von (3) auch dargestellt denken, wenn man an 
die Stelle der Constanten c 1} c 2 , ... c n entsprechend bestimmte 
Functionen Ui, u 2 , . . u n von x bringt, sodass 
n 
(4) y — Uiyi -f- u 2 y 2 -J- • • • -J- u n y n — u v y v . 
1 
Ja, eine solche Darstellung wäre noch auf unzählig viele 
Arten ausführbar, wenn man die Functionen Ui, u 2 , ... u n 
nicht einer entsprechenden Anzahl von Bedingungen unter 
würfe; solcher Bedingungen dürfen n—1 frei gewählt werden, 
vermöge deren n — 1 der u v durch das letzte sich darstellen 
lassen, sodass es nur noch auf die Bestimmung dieses einen u 
ankommt. Yon der Wahl dieser Bedingungen hängt die Durch 
führbarkeit des angedeuteten Gedankens wesentlich ab. 
Um auszudrücken, dass (4) der Gleichung (1) genügt, 
braucht man die Ableitungen von y. Nun ergibt sich 
(o) y = n v y v , 
wenn man die u v so wählt, dass 
(5*) ^u v y v = 0. 
Es wird weiter 
(6) y = u v y v , 
wenn man den u v die weitere Bedingung auf erlegt, dass 
(6*) ^ u' v y'v = 0 
sei. So fortfahrend kommt man nach n — 1 Differentiationen zu 
(7) 
wenn auch noch die Bedingung 
(7*) = 0 
erfüllt ist. Hiermit aber ist die zulässige Anzahl von Be 
dingungen erschöpft und ergibt sich 
(8) y (n) =2 U ^v ] +2 U 'v V ^~ X) •