Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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344. Beispiele. 1) Um die Differentialgleichung 
y"— V— 2y = x 
zu integriren, bestimme man die Wurzeln von 
co (r) = r 2 — r — 2 = 0; 
es sind dies die Zahlen r x = 2, r 2 = — 1; mit Hilfe derselben 
berechnet sich 
“'fri) = 3 ? ra '( r 2) = — 3 7 
Hiernach ist das allgemeine Integral der yorgelegten Glei 
chung nach Vorschrift von (14) 
2) Ist die Gleichung 
y"+ y = e x 
zur Integration vorgelegt, so bilde man mit Hilfe der Wurzeln 
von r 2 -j- 1 = 0, d. i. + i, das Hauptintegral, welches lautet 
seine Ausführung, bei welcher i wie eine Constante zu be 
handeln ist, liefert 
e ix e~ ix e ( 1 +*) a: e x 
2i 1 — i 2* 1 -f- i 2 
Demnach ist das allgemeine Integral (341) 
e x 
y = c x COS X -f- c 2 sin X -J- — • 
8. Integration durch Reihen. 
345. Wenn die zur Integration vorgelegte Gleichung 
unter keine der bisher behandelten Formen fällt, bei welchen 
die Lösung auf Quadraturen sich zurückführen lässt, so greift 
man zu dem Hilfsmittel der Integration durch Beihen. 
Vorausgesetzt, dass eine die Gleichung befriedigende 
Function von einer Stelle x 0 der unabhängigen Variabein aus