Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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1 • 2ä 2 + 2 • 3A s x + 3 • 4A 4 x 2 H 
= (¿(Aq -|— A 4 x —)— A 2 x 2 —(— Ag—J— • • •) 
hervorgegangen; die Vergleichung correspondirender Coeffi- 
cienten führt zu 
a . _ aÄ o , 
^2 — 1 . 2 7 
a ^ 
"“■4 1 • 2 • 3 • 4' 
A q 
aA x 
1 . 2 - V 
a*A x 
A = 
5 1 • 2 - 3 • 4 ■ 5 
2-3-4 
+ 
+ •••}; 
und hiermit verwandelt sich (s) in 
tJ== A jl I aX * I ^ 
V -^-0 \ ^ I 1 . 2 ‘ 1 • 
+ A i { x + 1 -T- V + r. 2 - 3 . 4 . 5 
dies stimmt aber mit (y) überein. 
2) Um die Gleichung 
(a) y"~\~ ax n y = 0 
zu integriren, nehme man an, das erste Glied der y darstellen 
den Reihe sei A 0 x m ; sein zweiter Differentialquotient ist 
m(m — 1 )A 0 x m ~~ 2 - x mithin führt die Einsetzung dieses Gliedes 
in (cc) zu dem Gliederpaare 
m(m — 1 )A 0 x m ~ 2 -f- aA 0 x m + n , 
Der Coefficient von x m ~ 2 muss für sich verschwinden, 
und da A 0 ^ 0 vorausgesetzt ist, muss 
m(m — 1) — 0 
sein, also m = 0 oder m = 1 genommen werden. 
Den Coefficienten von x m + n kann nur das folgende Glied 
der Reihe zum Verschwinden bringen; dieses Glied muss also 
A 1 x m + n + 2 lauten; es liefert dann das Gliederpaar 
(m n -j- 2) (m -j- n -j- l)A 1 x m + n -f- aA 1 x m + 2n +2. 
Der Coefficient des zweiten dieser Glieder wird durch das 
dritte Glied der Reihe aufgehoben werden, welches lauten muss 
A 2 X m + 2n + 4 : , u s< w 
Hiernach ist 
(ß) y = A 0 x m + A 1 x m + n + 2 + A 2 x m + 2n + i H