Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Curve M 0 M X , Fig. 186, in eine benachbarte M 0 ' M x , erfährt 
weiters F eine Variation dV und wird ans der Curve Q 0 Q 1 
eine ihr sehr nahe Q 0 ' Q x . Daraus endlich geht eine Ände 
rung dv von v hervor, welche in aller Strenge dargestellt 
wäre durch die Differenz 
PqPi Qi Qo Po Pi Qi Qo > 
mit Ausserachtlassnng von Grössen höherer Kleinheitsordnung 
aber ersetzt werden kann durch 
PiPi'Qi'Qi - PoPo'Qo'Qo + QoQiQi"Qo"- 
Mit demselben Grade der Näherung darf der erste Theil 
durch das Product P X Q X - P X P X = V x -dx x , der zweite durch 
P 0 Q 0 • PqPq = F 0 • dx 0 ausgedrückt werden, wenn F 0 , V 1 die 
Werte von F iür x = x Q , respective x = x x bedeuten. Wenn ferner 
festgesetzt wird, dass y und ydy, also auch F und F-{- dV 
jeweilen zu derselben Abscisse gehören, sodass öy durch MM', 
das zugehörige 8V durch QQ' dargestellt erscheint, so ist der 
x l 
dritte Theil nach Grösse und Vorzeichen durch J*8V• dx 
bestimmt. x ° 
Hiernach ist 
X± 
(2) dv = { F- 8x]l l o + f 8V- dx. 
Xq 
Mit der Variation von y erleiden aber auch dessen Diffe- 
rentialquotienten unendlich kleine Änderungen 8y, 8y", 
und bezeichnet man die partiellen Ableitungen von F in Bezug 
auf x, y, y, y", . . . der Reihe nach mit X, Y, Y x , F 2 , . . ., 
so ist bis auf Glieder der ersten Ordnung in den Variationen 
ÖV=Xdx-\- Y8y -f- Y x 8y -f Y 2 8y"-\ ; 
weil wir aber festgesetzt haben, dass solche Punkte der Curven 
M Q M X und Mq M x einander zugeordnet werden, welche zu 
demselben x gehören, so ist mit der Variation des y keine 
Variation von x verbunden*), also dx — 0, daher einfacher 
(8) dV= Ydy + Y x dy'+ Y 2 dy" + .... 
*) Ausgenommen sind die Grenzen von x, wenn der allgemeine in 
Fig. 186 gekennzeichnete Fall vorliegt. 
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