Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
377 
Zunächst ist klar, dass für ein solches 
(23) dv + X8w = 0 
sein müsse bei beliebigem A; denn für jedes Extrem ist dv = 0 7 
und da w constant bleiben soll, so ist auch dw — 0. 
Umgekehrt, eine Bestimmung für y 7 welche 
*1 
v -f- Iw — J* (F + XW)dx 
x 0 
zu einem absoluten Extreme macht und dabei w den festen 
Wert a verleibt, bat auch einen extremen Wert von v zur 
Folge. Angenommen, es bandle sieb um ein Maximum, und 
eine benachbarte Bestimmung y x für y ergäbe 
v x >v, 
während 
w x = w; 
dann hätte man auch 
v x -f- Aw x > v + , 
was der Voraussetzung, v -(- Iw sei ein absolutes Extrem, 
widerspräche. Demnach kann keine benachbarte Bestimmung 
von y zu einem v x führen, das grösser ist als v, folglich ist 
auch v ein Maximum. 
Zur Bestimmung des unbestimmten Multiplicators A dient 
die Bedingungsgleicbung (22) (vgl. hiermit 123). 
352. Beispiele. 1) Es ist die kürzeste Linie zwischen 
zwei gegebenen Punkten der Ebene zu bestimmen. 
Sind x 0 /y 0 und x x /y x die gegebenen Punkte, so bandelt 
es sich um das Minimum von 
Xq 
Nach den Scblussbemerkungen in 350 ist y aus der Diffe 
rentialgleichung erster Ordnung Y x — c, d. i. aus 
Vi + y* 
zu bestimmen. Die Auflösung nach y ergibt 
y'= A