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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
und die Integration 
y = Ax -f- jB. 
Die verlangte Linie ist also die Gerade; zur Bestimmung ihrer 
Parameter dienen die Gleichungen 
y 0 = Ax 0 -\- B, y t = Ax x -j- B. 
2) Die Bahn zu bestimmen, auf welcher ein materieller 
Punkt, der Schwere überlassen, von einem gegebenen nach 
einem andern gegebenen Punkte in kürzestmöglicher Zeit ge 
langt. — Es ist dies die erste Aufgabe der Variationsrech 
nung, welche zur analytischen Lösung vorgelegt worden ist, 
und zwar durch Johann Bernoulli 
im Jahre 1696. — Die betreffende Bahn 
erhielt den Namen Brachistochrone. 
Wir nehmen als erwiesen an, dass 
die Bahn eine ebene Curve und in der 
durch die beiden gegebenen Punkte A, B, 
Fig. 187, bestimmten Verticalebene ge 
legen sei. In dieser Ebene werde A als 
Ursprung und die durch ihn in Rich 
tung der Schwere gezogene Gerade als Ordinatenaxe angenom 
men. Zunächst lässt sich zeigen, dass der bewegliche Punkt 
in M mit derselben Geschwindigkeit v ankommt, welche er 
in P bei freiem Falle erlangt haben würde. Denn aus den 
auf M bezüglichen Bewegungsgleichungen 
ds d 2 s dy 
di~ V ’ di*^ g ds’ 
in welchen s den Weg AM, t die zu seiner Zurücklegung 
benöthigte Zeit und g die Beschleunigung der Schwere bedeu 
ten, folgt 
d*s dy dt 
dt 2 g dt ds’ 
daraus weiter 
2 Tf d A dt = ^dy 
und durch Integration thatsächlich 
*~v-ysa. 
wenn man die Anfangsgeschwindigkeit = 0 voraussetzt.