Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Hieraus ergibt sich die zur Zurücklegung des Bahnelementes 
ds nöthige Zeit 
ds 
dt 
V%gy 
V- 
+ y‘‘ 
zgy 
dx 
und die für den Weg AMB erforderliche Zeit 
■iv'-tf 
dx. 
Diese soll ein Minimum werden. 
Aus V = ~j/ 1 y ergibt sich 
Y x = 
y 
Tx- 
y M + f) 
%yy" — y'Hi + y 2 ). 
2 [y{ 1 + 2/' 2 )}" 
somit hat man zur Bestimmung der Bahn die Differential 
gleichung 
1 1 /1 + y 2 ïyy"— fC 1 + y' 2 ) = 0 
y + 2(â/(l + ÿ' ! )Ü 
welche sich umformen lässt in 
1 + V 2 + 2yy"= 0 
und schliesslich in 
l+fl = -2yVTTr\ 
in welcher Gfestalt sie die geometrische Eigenschaft ausdrückt ; 
dass der Krümmungsradius zur Normale in dem constanten 
Verhältnisse — 2:1 steht. Diese Eigenschaft kommt aber 
(335 ; 4), y)) nur Cykloiden zu, welche durch Rollen eines 
Kreises auf der Abscissenaxe entstehen. Zur Bestimmung seines 
Halbmessers hat man die Gleichungen 
x x = a(u — sin u) 
y 1 == a(i — cos u) 5 
nachdem man aus der transcendenten Gleichung ^ = 
iv S1H %v 
den zu B gehörigen Wälzungswinkel bestimmt hat, kann jede 
der beiden Gleichungen zur Berechnung von a verwendet werden.