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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
3) In einer Ebene sind zwei Punkte und eine Gerade ge 
geben; durch die Punkte ist eine Curve zu legen, welche bei 
ihrer Drehung um die Gerade die kleinstmögliche Fläche be 
schreibt. 
Wählt man die Gerade als Abscissenaxe, so handelt es 
sich um ein Minimum von (290) 
Hier ist 
V= y yr+y r \ Y=VT+Y~*, 
Y _ . yy' y — t 1 + y'*)»'* + yy" 
V'+y" 1 (1 + ^)4 ; 
mithin hat die verlangte Curve die Differentialgleichung 
yY+Ji_(l±lMl±l!r = o 
(i + vT 
oder nach einfacher Umgestaltung 
Dies drückt aber die Gleichheit zwischen Krümmungsradius 
und Normale aus, eine charakteristische Eigenschaft aller Ketten 
linien von der Gleichungsform 
/ a+gg g+gg\ 
y = i[ e Cl + e '■ ); 
die hier geltende Kettenlinie ist durch die Forderung bestimmt, 
dass sie durch die Punkte x 0 /y Q , x x jy x zu gehen hat. 
353. Die bisher behandelten Beispiele betrafen absolute 
Extreme. In den nun folgenden Beispielen handelt es sich 
darum, unter allen Curven, welchen eine gemeinsame durch 
ein Integral darstellbare Eigenschaft zukommt, diejenige zu 
finden, für welche ein anderes bestimmtes Integral einen ex 
tremen Wert erlangt, in allgemeiner Ausdrucksweise also um 
relative Extreme. Unter den Problemen dieser Art sind die 
isoperimetrischen Aufgaben von besonderem Interesse; sie ver 
langen die Bestimmung von Curven gegebener Länge, für welche 
eine andere mit ihnen zusammenhängende Grösse einen grössten,