Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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354. Wenn die Function V unter dem Integrale 
(i) 
v =^ Vdx, 
dessen Extremwerte gesucht werden , ausser der unbekannten 
Function y und ihren Ableitungen noch eine zweite Function 
Z von x nebst ihren Differentialquotienten enthält, so ist ohne 
Mühe zu erkennen, dass in dem Ausdrucke (12), 349, für die 
Variation dv neben die auf y, y, y", ... bezüglichen Glieder 
analog gebildete Glieder treten, welche sich auf z, z, z”, . . . 
beziehen, sodass 
(24) 
H= [rdx + {Y 1 -Y,' + -)öy + (Y s -Y s '+-)Sy’+- 
•)d/ + 
■)dy 
■)dz-. 
+ (Z, - • • -)de + (Z a - Z 3 '+ 
wird, während an die Stelle von &dy tritt 
i&8y+ &i öz = {Y- T/+ Y 2 " 
} 1 + {Z-Z{+ 
Z, Z x , Z x ,. . . haben analoge Bedeutung mit Y, Y lf Y'... . 
Die Bedingungen für ein absolutes Extrem lauten wieder 
(26) H = 0, ®dy+@ 1 8z = 0; 
davon ist die erste von selbst erfüllt, wenn die Grenzen x 0 , x 1 
fest sind und wenn ihnen auch vorgezeichnete Werte von 
y, y, y",. . . z, z', z" entsprechen. 
Zur Illustration des Falles selbst stellen wir uns die Frage 
nach der kürzesten Linie, welche zwei gegebene Punkte einer 
vorgelegten krummen Fläche mit einander verbindet. 
Denkt man sich für die Punkte einer der Fläche 
(27) F(x, y, z) = 0 
aufgeschriebenen Curve y, z als Functionen von x dargestellt, 
so handelt es sich darum, diese Functionen derart zu bestim 
men, dass sie (27) identisch erfüllen und 
% 
=/fi + r + 
z*dx 
zu einem Minimum machen. 
Czuber, Vorlesungen. II. 
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