Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 399 
unter die Flächenelemente der Flächen des Systems (2) nur 
auf drei verschiedene Arten vertheilt sein. 
1] Sie kommen alle auf einer Fläche des Systems (2) vor, 
dann ist diese identisch mit 0 = f{x, y) und man hat es mit 
einer particulären Lösung aus (2) selbst zu thun. 
2] Sie vertheilen sich auf einfach unendliche viele Flächen 
aus. dem Systeme (2) derart, dass auf jeder einfach unendlich 
viele Vorkommen; dann ist g = f(x, y) Einhüllende dieser ein 
fach unendlichen Flächenschar, also ein besonderer Fall der 
allgemeinen Lösung. 
3] Sie vertheilen sich auf alle Flächen des Systems (2), 
derart, dass auf jeder nur ein oder eine beschränkte Anzahl 
von Flächenelementen vorkommt; dann aber ist 0 — f(x, y) 
die Einhüllende des Systems (2), also die singuläre Lösung 
der Gleichung (1). 
Eine andere, bezüglich der Integrale von F(x, y 7 z,p, q) = 0 
zu erledigende Frage geht dahin, ob eine solche Gleichung nur 
eine vollständige Lösung besitzt, mit andern Worten, ob sich 
die oo 4 Flächenelemente jener Gleichung nur auf eine Art in 
eine zweifach unendliche Flächenschar zusammenfassen lassen. 
Die Antwort ergibt sich in folgender Weise. Angenommen, 
es sei eine vollständige Lösung gefunden, 
<&(#, y, 0, a, b) = 0; 
um einen besonderen Fall der allgemeinen Lösung daraus ab 
zuleiten, setze man 
b = cp (a, a, b'), 
unter cp eine bestimmte Function und unter a, b' willkürliche 
Parameter verstanden; es bleibt dann zwischen 
y, 0, a, qp(a, a, b')) = 0 und = 0 
a zu eliminiren. Das Resultat dieser Elimination wird aber 
eine Gleichung 
W(x, y, 0, a, V) = 0 
sein, welche wieder zwei willkürliche Parameter enthält und 
daher auch eine vollständige Lösung darstellt. Da die Wahl 
von cp auf unendlich viele Arten getroffen werden kann, so