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Zweiter Theii. Integral-Rechnung. 
#;?/-Ebene, folglich die zuletzt gefundene Gleichung der ana 
lytische Ausdruck für alle geraden Kreiscylinder, deren Axen 
in der #?/-Ebene liegen. Diese Cylinder umfassen alle Flächen 
elemente des zweifach unendlichen Kugelsystems, ordnen sie 
aber anders an. 
Durch einen zwischen den Ebenen z — — r und z = r 
angenommenen Punkt M gehen unendlich viele Kugeln aus 
dem Systeme (a), aber auch unendlich viele Cylinder aus dem 
Systeme («); die Tangentialebenen an alle diese Flächen in M 
werden durch einen Kegel eingehüllt, und zwar durch einen 
Kreiskegel mit zur xy-Ebene senkrechter Axe; es ist dies der 
diesem Punkte entsprechende Elementarkegel. Fällt der Punkt 
in die xy-WoQive, so degenerirt der Kegel in eine zur xy-Ebene 
senkrechte Gerade, fällt M in eine der Ebenen z 2 = r 2 , so 
degenerirt der Kegel in diese Ebene selbst; zu Punkten ausser 
halb der genannten Ebenen gehört kein reeller Elementar 
kegel, wie auch keine reellen Integralflächen durch sie hindurch 
gehen. 
360. Bevor wir an die Entwicklung einer allgemeinen 
Methode zur Integration nichtlinearer Differentialgleichungen 
erster Ordnung gehen, sollen einige besondere Formen behan 
delt werden, wo das geometrische Raisonnement allein zum 
Ziele führt. Auch von dem Gedanken kann man Gebrauch 
machen, welcher der allgemeinen Methode zu Grunde liegt 
und darin besteht, dass man eine Relation zwischen p, q und 
einer willkürlichen Constanten a aufzustellen sucht, die mit 
der vorgelegten Differentialgleichung zusammen zu solchen 
Bestimmungen für p, q führt, welche die Gleichung 
dz = p dx -f- qdy 
zu einer exacten machen; bei der Integration dieser Gleichung 
tritt eine zweite Constante 6 hinzu, sodass das Resultat eine 
vollständige Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt. 
1) Wir beginnen mit der Differentialgleichung 
(1) F{p, q) = 0, 
welche keine der drei Yariabeln x, y, z explicit enthält. 
Sind p = a, q — h zwei der Gleichung (1) genügende 
Werte, so ist jede Ebene