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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Die Gleichung 
9 (p 2 0 -j- <f) = 4 
hat die vollständige Lösung 
0 + oFf = (x + ay + bf, 
welche eine zweifach unendliche Schar von Cylinderflächen 
dritter Ordnung darstellt. 
3) Ein bemerkenswertes Verhalten zeigt die Gleichung 
(!) * =p% + q.y + f(p, g), 
welche der nach Clairaut benannten gewöhnlichen Differen 
tialgleichung (32l) nachgebildet ist und gewöhnlich als verall 
gemeinerte Clairaut’sehe Gleichung bezeichnet wird. 
Ertheilt man darin p und q willkürliche Werte a und b, 
so stellt sie eine Ebene dar, und jeder Punkt dieser Ebene in 
Verbindung mit ihr selbst bildet ein Flächenelemeut, das der 
Gleichung (1) genügt, mithin ist diese Ebene 
(2) z = ax -)- by -f- f(a, b) 
eine Integralfiäche. Denkt man sich jetzt unter a, b verän 
derliche Parameter, so stellt (2) ein vollständiges Integral der 
Gleichung (1) dar. 
Man kann sich von dieser Thatsache auch dadurch über 
zeugen, dass man (2) nach x, dann nach y differentiirt und 
hierauf a und b eliminirt; die Differentiation gibt 
* P = a , q = b 
und die Elimination von a, b aus (2) führt thatsächlich zu (1). 
Fügt man zu (2) noch eine Gleichung 
(p(a, b) = 0 
zwischen den beiden Parametern hinzu, so wird damit aus (2) 
ein einfach unendliches System von Ebenen ausgelöst, dessen 
Einhüllende eine developpable Fläche ist; in der allgemeinen 
Lösung der Clairaut’sehen Gleichung sind also lauter deve 
loppable Flächen enthalten. 
Die etwa vorhandene singuläre Lösung erhält man durch 
Elimination von a, b zwischen den Gleichungen 
z = ax + by + f{a,b), 0 = x + 0 = i/ + |£-