Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
407 
Die verallgemeinerte Clai raut’sehe Gleichung ist der 
analytische Ausdruck für ein Problem, das eine Fläche zu be 
stimmen verlangt aus einer Eigenschaft ihrer Tangentialebene, 
die von der Lage des Berührungspunktes in der Ebene unab 
hängig und daher von allen ihren Punkten gleichmässig 
erfüllt ist. Bringt man nämlich die Gleichung der Tangential 
ebene im Punkte x/y/0 der unbekannten Fläche 
% — e = Kl — x ) + 20? — y) 
auf die Form 
(3) £ = j?S + qv + * — P x — qy, 
so bestimmt der Ausdruck 0—px — qy den Abschnitt der 
Ebene auf der £-Axe; hiernach hängt dieser Abschnitt im 
Allgemeinen von x, y, p und q ab; soll er von der Lage 
des Berührungspunktes in der Ebene unabhängig sein, so 
muss er sich auf eine Function f(jp, q) von p und q allein 
reduciren, sodass 
0 px qy — f(p, q) 
wird. Dies aber ist die Clairaut’sche Gleichung, nur‘mit 
veränderter Anordnung ihrer Glieder. 
Wird nach der Fläche gefragt, deren Tangentialebenen 
vom Ursprünge um eine gegebene Strecke r entfernt sind, so 
führt dies auf eine Clairaut’sche Gleichung, weil von der 
Lage des Berührungspunktes in dem Probleme nicht gesprochen 
wird. In der That, die Ebene (3) hat vom Ursprünge den 
Abstand 
z — px — qy 
Yp* + <1* + 1 ’ 
folglich ist 
z—px — gy = r 
Vp 2 +q*+l 
oder 
(4) 0 = px + qy + rY p 2 + q 2 + 1 
die Differentialgleichung der gesuchten Fläche. 
Diese selbst ist die mit dem Halbmesser r um den Ur 
sprung beschriebene Kugel und bildet die singuläre Lösung 
von (4), während die zweifach unendliche Gesammtheit ihrer 
Tangentialebenen 
0 = ax -f- by -f- r Y a 2 -f- h 2 -f- 1