Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 411 
so gelangt man zu der Gleichung 
I P^+V% + (Pp+Qi) % 
|_( X+i)Z) |i_ (r+ä 2)|£ = o, 
aus welcher f zu bestimmen ist. Hiernach hängt diese Be 
stimmung (356) von einer homogenen linearen Differential 
gleichung ab, die wiederum auf die Integration des Systems 
simultaner gewöhnlicher Differentialgleichungen 
dx dy dz dp dq 
UDj -p—-Q—p p +Q q = — x + pZ == ~Y'+qZ 
zurückführt. 
Ein Integral dieses Systems und damit auch ein Integral 
der Gleichung (9) ist bekannt: es ist die Function F(x,y,z,p,q). 
In der That, setzt man in (9) statt der Ableitungen von f 
jene von F ein, so wird sie identisch befriedigt, da 
PX+QT+{Pp + Qq)Z-{X+pZ)P-{Y+qZ)Q~ 0 
ist. 
Hat man ein zweites davon verschiedenes Integral des 
Systems (10) gefunden, so kommt es nur mehr auf die In 
tegration der exacten Gleichung (3) an. 
In den besonderen Fällen, welche den Gegenstand des 
vorigen Artikels gebildet haben, führt die allgemeine Methode 
ebenfalls zum Ziele und bestätigt die dort auf Grund geome 
trischer Überlegung gemachten Aufstellungen. 
So ist bei der Differentialgleichung F{p, q) = 0 
X = Y=Z= 0, 
infolge dessen geben die beiden letzten Theile der Hilfsglei 
chungen 
dp — 0, dq — 0, woraus p = a, q — h, 
wozu jedoch die weitere nothwendige Bedingung F(a, &) = 0 
hinzutritt. 
Die Differentialgleichung F{x, p, q) — 0 gibt 
Y= 0, Z=0, 
infolge dessen ist vermöge (10) 
dq = 0, woraus q = a.