Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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zeugt, ist wichtig für die Construction des allgemeinsten In 
tegrals. 
Wir setzen nun die Coefficienten der Gleichung (1) als 
constant voraus. Führt man in die linke Seite derselben den 
mit vorläufig unbestimmten Zahlen a, ß gebildeten Ausdruck 
(2) g = e ttX +Py 
ein, so verwandelt sie sich in das Product 
e ax +^[a 0 + 2b 0 a -f 2\ß + c 0 a 2 + 2c 1 aß + c 2 /3 2 ]; 
mithin ist (2) nur dann, dann aber immer ein Integral von 
(1), wenn a, ß der quadratischen Gleichung 
(3) a 0 -f 2b 0 a -f- 2b x ß -f- c 0 a 2 + 2c 1 ccß -j- c 2 ß 2 = 0 
genügen. Ist also a k , ß k eine Lösung dieser charakteristischen 
Gleichung, so ist 
C k e ttkX+ßky 
ein Integral, und das allgemeinste Integral ist 
(4) z=2j Cke kV ’ 
die Summe eigentlich über die oo 1 Wertverbindungen a k /ß k 
erstreckt, welche der Gleichung (3) entsprechen. 
Yon besonderem Interesse ist der Pall, wo die linke Seite 
von (3) Zerlegung in lineare Factoren gestattet, sodass 
(Ai« + B x ß -f- C l )(Ä 2 a -{- B 2 ß + C 2 ) — 0 
ist. Zieht man daraus die beiden Bestimmungen 
ß — ma -f- n, ß — ma -(- n , 
so zerfällt (4) in zwei Theile 
z = e ny Ce < ' x + my ' )a -J- e n y ^j C'e^ x ^ m ^ a , 
die Summe über alle reellen Werte von a erstreckt und jedem 
a ein beliebiges C zugeordnet. Die erste Summe aber stellt 
in letzter Linie eine willkürliche Function von x -j- my, die 
zweite eine willkürliche Function von x -|- my dar; man hat 
also bei dieser Voraussetzung 
(5) z = e ny cp(x -f- my) -f- e n ' y ih(x -f- my) 
als allgemeinstes Integral von (1). 
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