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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Zur Illustration dieses Verfahrens mögen zwei Beispiele 
dienen, deren erstes insofern von historischem Interesse ist, 
als es die erste partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 
betrifft, die zur Lösung gebracht wurde — durch Euler —; 
das zweite ist ein blosser Specialfall des ersten und behandelt 
eine Differentialgleichung, die in der Theorie schwingender 
Saiten auftritt. 
1) Zu der Gleichung 
(6) r -f- 2as -(- ht — 0 
gehört die charakteristische Gleichung 
a 2 + 2aaß + bß 2 = 0- 
dieselbe ergibt für das Verhältnis ~ zwei Werte: m und m' } 
sodass 
ß = ma und ß = m'a 
zu setzen ist; hiernach ist 
(7) z = <p (x -f- my) -j- ^(x -f- m'y) 
das allgemeine Integral von (6). 
2) Die Gleichung 
(8) r — a 2 t = 0 
ist in der vorigen als besonderer Fall enthalten, hat die 
charakteristische Gleichung 
^ a 2 — a 2 ß 2 = 0 
mit den Lösungen ß = + ~, also das allgemeine Integral 
0 = cp (x -f- -|- ip (x — oder, was auf dasselbe zurück 
kommt, 
(9) g = cp{y -f ax) + — ax). 
Sind ausreichende Bedingungen hiefür vorhanden, so lassen 
sich auch die willkürlichen Functionen bestimmen. Würde 
z. B. gefordert, dass 
für x — 0 8 = F(y), ~ = f(y) 
werden soll, wobei F 7 , f gegebene Functionen bedeuten, so hätte 
man in Ausführung dieser Bedingungen