86 
II. Abschnitt. § 3. Integration transzendenter Funktionen 
dx 
Beispiele. 4. In dem besonderen Falle J“ a & 
stitution auf das algebraische Integral 
führt diese Sub- 
dt 
(1+ **) (« + &*) ’ 
die Zerlegung der gebrochenen Funktion liefert 
1 a — bt 
(1 4-# 2 ) (a -f- bt) (a 2 4- b*) (1 -|- # 2 ) (« 2 + & 2 ) (a + ii)' 
woraus sich 
f dt 
J < 
ö+vl + M> Z( “ + 6i) - ^+6?* (1 + Ì2) + «4p ar ° tg * 
und schließlich 
/. 
da? 
,- 7 - — -1—„ l(a cos # -f & sin #) + 0 ergibt. 
«-|-?)tga; a 2 & 2 1 a 2 + & 2 v 7 ° 
Das vorliegende Integral läßt sich indessen auch mit Umgehung 
jeder Substitution ermitteln; es ist nämlich 
b f dx = f 
J a -f- & tg x Ja 
+ “/< 
b cos xdx 
■/' 
"( — a sin x -f- ö cos x) dx 
a cos x -j- b sin x 
a cos x -j- b sin x 
sin xdx 
a cos x —{- b sin x ’ 
multipliziert man diese Gleichung mit b und addiert beiderseits 
cos xdx 
a 
(« 2 + 
*>/. 
■f: 
hinzu, so entsteht 
a cos x -f- & sin x 
— r , — bl{a cos x -f b sin x) + axA- C, 
Ct 0 X 
dx 
■woraus für das Integral derselbe Ausdruck hervorgeht, wie er oben ge 
funden wurde. 
5. Mit Benützung der Formel (17*) erhält man 
r dx = Al- 
J cos 4 #-f-sin 4 a? J 1 
-f- i 2 ) dt 
1 x -f- sin 4 x J 1 -f- i 4 5 
dies fällt unter 243 und im Schlußresultat ist t wieder durch tg x zu 
ersetzen. 
264. Reduktionsformeln für f sin™ x cos” xdx. Das Integral 
einer rationalen ganzen Funktion von sin x, cos x, tg x, cotg x, . . . löst 
sich in Integrale von der Form