264-. Reduktionsformeln 
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(18) 
mit ganzzahligen Exponenten auf. Durch die Substitution sin # = t geht 
dies in das Integral 
I t m (l—fi) 2 dt 
eines binomischen Differentials über und könnte nach den in 255—256 
gegebenen Methoden behandelt werden. Aus dieser letzten Form erkennt 
man, daß das obige Integral nur dann eine endliche Darstellung durch 
elementare Funktionen zuläßt, wenn die Exponenten eine der Bedingungen 
eine ganze Zahl. Sind m, n ganze Zahlen, wie dies hier angenommen 
wird, so ist mindestens eine davon stets erfüllt. Bei bloß rationalen Ex 
ponenten kann die dritte Bedingung unter Umständen auch erfüllt sein. 
Es ist indessen vorteilhafter, das Integral (18) in seiner ursprüng 
lichen Form zu belassen und durch Reduktion der Exponenten m, n auf 
möglichst kleine Beiträge gewisse einfache Integralformen herbeizuführen. 
Hierzu dienen die nachstehenden Relmrsionsformein. 
1. Partielle Integration mit der Zerlegung 
ergibt 
(I) 
#, dv = sin m x cos xdx 
u = cos" 1 
m -f- 1 J v 
Kehrt man die Formel um und ersetzt gleichzeitig m durch m — 2, 
n durch n 2, so wird 
/■ 
(II) 
(n -f 14= 0). 
2. Wird unter dem Integralzeichen rechts in (l) von der Umformung 
sin m + 2 # cos” -2 # = sin m # cos" -2 # (1 — cos 2 #) 
Gebrauch gemacht, so löst sich das betreffende Integral in zwei Integrale 
auf, deren eines mit dem linksstehenden übereinstimmt; nach gehöriger 
Vereinfachung hat man: