II Abschnitt. § 3. Integration transzendenter Funktionen 
fim kx sin „xdx - i/[cos (k „)x — cos (i + „)*] dz 
ein {% -f- fi) x 
2 (2 -f- fi) 
j*eos Ix cos iixdx — —J"[cos (2 — fi) # -f cos (2 + g) ¿c] dx 
sin (2 -j- N x 
2(1 ii) 
sin Xx cos [xxdx = yJ [ s ^ n (1 + ft) # -j- sin (2 — u) x] dx 
COS (1 — /i)iC 
2 (2, -j- fi) 2 (X — fi) 
Beispielsweise führt dieser Vorgang zu folgenden Resultaten: 
j sin 4 xdx = 4-J(cos 4x — 4 cos 2x -f- 3) dx 
2 sin 2x + 3#^ -f C] 
I shr’ xdx = ^ I (sin 5# — 5 sin 3rr + 10 sin #) 
cos 5 ¿c . 5 cos 3® \ . „ 
i 3 10 cos x) -f (7; 
(21) 
- j %vn^2xdx 
l~J*((1 ~ cos 4x)dx 
sin 4* 
+ C. 
bj ' ~~ 8 32 
266. Produkt aus einer rationalen Punktion von x und 
aus sin# oder cos x. Bedeutet fix) eine rationale Funktion von x, 
welche sich in die ganze Funktion G(x) und den irreduktiblen echten 
Fix) 
Bruch —^ zerlegen läßt, so lösen sich dieser Zerlegung gemäß auch die 
'f fix) sin xdx, Cf (x) cos xdx (22) 
in je zwei Integrale auf. Auf das erste läßt sich mit Erfolg partielle 
Integration an wenden in dem Sinne, daß man u = G{x), dv = sin xdx, 
beziehungsweise = cos xdx nimmt; man erhält so 
j G(x) sin xdx = — G(x) cos x -f- f G'{x) cos xdx 
r , r (23) 
j G{x) cos xdx — G(x) sin x —J G'(x) sin xdx;