Dritter Abschnitt. 
Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 
§ 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale. 
269. Auswertung von Integralen mittels des Hauptsatzes 
der Integralrechnung. Die Auswertung eines bestimmten Integrals 
gestaltet sich dann am einfachsten, wenn die unbestimmte Integration in 
endlicher Form sich vollziehen läßt, d. h. wenn eine in dem Integrations 
intervalle (a, b) stetige, durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck 
dargestellte Funktion F{x) angegeben werden kann, deren Differential- 
quotient an jeder Stelle durch den Wert der zu integrierenden Funk 
tion f(x) bestimmt ist; nach dem Hauptsätze der Integralrechnung (232) 
ist nämlich in diesem Falle 
b 
ff(x)dx = Fib) — F(a), (1) 
a 
so daß es also nur auf die Ausrechnung und Subtraktion zweier beson 
deren Werte der Funktion F(x) ankommt. 
Im Vergleich zu der unerschöpflichen Mannigfaltigkeit von Formen, 
welche die Funktion fix) anzunehmen vermag, ist die Zahl der Fälle, wo 
von diesem Verfahren Gebrauch gemacht werden kann, allerdings eine 
sehr kleine; die Anwendungen der Analysis auf Geometrie und Mechanik 
führen aber solche Fälle häufig genug herbei, und einige Integralformeln, 
welche auf diesem Wege abgeleitet werden können, treten sowohl in den 
Anwendungen wie in der weiteren Entwicklung der Theorie so oft auf, 
daß es sich empfiehlt, sie hier zusammenzustellen. 
Vorher noch eine allgemeine Bemerkung. Bevor an die Auswertung 
eines bestimmten Integrals geschritten wird, muß festgestellt werden, ob 
die Funktion unter dem Integralzeichen den Integrabilitätsbedingungen 
Czuber, Vorlesungen. II. 4. Aufl. 7