270. Abschätzung eines bestimmten Integrals 
105 
10. Bei der Auswertung des Integrals 
7t 
sin# dx 
sin xdx 
Y1 — 2k cos# 
2k cos# -f- k' 
o 
ist Vorsicht notwendig; man darf nämlich nicht übersehen, daß die Wur 
zel ständig mit demselben, wie wir festsetzen wollen, mit dem positiven 
Wert zu nehmen ist. Nun ist das unbestimmte Integral 
l 
j/1 — 2x cos# -\- x 2 - 
an der obern Grenze wird der Radikand (1 -f- x) 2 , der Wert der Wurzel 
ist mit 1 -f- x oder mit — (1-f-z) anzusetzen, je nachdem 1 -f- x > 0 oder 
< 0 ist. An der unteren Grenze wird der Radikand (1 — x) 2 und die 
Wurzel ist mit 1 — x oder mit x — 1 anzusetzen, je nachdem 1 — x > 0 
oder < 0 ist. Hiernach ist der Wert obigen Integrals 
wenn x 2 < 1 
2 
X>1 
2 
X<—\. 
270. Abschätzung eines bestimmten Integrals. Wenn die 
unbestimmte Integration sich nicht ausführen läßt, so muß zu anderen 
Hilfsmitteln der Auswertung des Integrals gegriffen werden. Solche wer 
den im weiteren Verlaufe zur Sprache gebracht werden. Häufig aber, 
namentlich bei theoretischen Untersuchungen, handelt es sich um eine 
bloße Schätzung des Integralwertes, um seine Einschließung zwischen 
Grenzen. Die wichtigsten darauf bezüglichen Sätze werden in diesem und 
den beiden folgenden Artikeln entwickelt werden. 
Das nächstliegende Mittel zur Abschätzung des Wertes eines be 
stimmten Integrals bietet der in 230, 6. nachgewiesene Satz, wonach 
zwischen dem kleinsten und größten Werte der Funktion fix) eine Zahl 
u liegt, derart, daß * 
(19) 
a 
Bestimmt man demnach den kleinsten Wert m und den größten WertJf 
von f{x) in ia, h), so stellen (b — ä)m und ih — ä)M eine untere und eine 
obere Grenze für den Wert des Integrals dar.