106 III. Abschnitt. § 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale 
Ist f(x) stetig in (a, b), so läßt sich ein positiver echter Bruch 0 so 
bestimmen, daß [i = f[a6(b — a)] ist; bezeichnet ferner F(x) eine 
stetige Funktion, welche f(x) als Differentialquotienten ergibt, so ist 
F(b) — F(a) eine zweite Darstellung des Integralwertes und daher nach 
(19) i’(ft) - F{a) = (6 - a) F\a + 6 (b - o)); 
dies aber ist der Ausdruck für den Mittelwertsatz der Differentialrech 
nung (38). * 
Wie schon an der oben zitierten Stelle erwähnt worden ist, nennt 
man die Zahl u den Mittelivert der Funktion f'(x) in dem Intervalle (a, b) 
Drückt beispielsweise f(x) die Geschwindigkeit eines beweglichen Punktes 
zur Zeit x aus, so bedeutet ja die mittlere Geschwin 
digkeit in dem Zeiträume (a, b). Ist f(x) die zur Ab 
szisse x gehörige Ordinate einer Kurve CD (Fig. 132), 
so ist g die mittlere Ordinate des Bogens CD und zu 
gleich die Höhe jenes Rechtecks über der Basis AB, 
welches mit der Figur ABDC gleiche Fläche hat. 
Ein anderes Hilfsmittel der Abschätzung gründet sich auf den am 
Schlüsse von 230, 6. erwiesenen Satz. Gelingt es nämlich, zwei Funk 
tionen (p(x), k>(x) anzugeben, welche die zu integrierende Funktion fix) 
derart einschließen, daß für alle Werte von x, für die a <Lx <fb, 
9 0*0 <L f{x) ip(x), 
wobei jedoch die Gleichheitszeichen nicht durchgehende gelten, so ist 
dem angezogenen Satze zufolge auch 
b b b 
j\p(x) dx <Jf{x) dx < j 'ifj(x) dx. (20) 
a a a 
Lassen sich die Werte der beiden äußeren Integrale bestimmen, so 
sind damit Grenzen für das vorgelegte Integral gewonnen. 
Beispiele. 1. Es ist die mittlere Krümmung und der mittlere Krüm 
mungsradius der Normalschnitte für einen Punkt einer krummen Fläche 
zu bestimmen. 
Dem Eulerschen Satze (209, (15)) zufolge drückt sich die Krüm 
mung ß eines Normalschnittes durch die Krümmungen ^ ~ der bei 
den Hauptnormalschnitte und den Winkel co, welchen die zu ^ und 
gehörigen Ebenen bilden, derart aus, daß 
c Fig. 182.