108 III. Abschnitt. § 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale 
7t 
Y 
3. Für das Integral (** < 1) 
0 
ergeben sieb Grenzen aus der Bemerkung, daß mit Ausschluß von cp 
für jedes <p i ' 1 1 
j/l—x 2 sin 2 <p 1 x 2 sin 2 gp ’ 
daraus folgt nämlich 
j* ^ (* dtp ^ f dtpf 
2 J >/l — x 2 sin 2 qj J 1 — x 2 sin 2 cp 
dtp 
cos 2 <p -j~ (1 — x 2 ) sin 2 qp 7 
2 
d. i. nach 269, 9. ~ < (-—■=?===—■ < = =; 
2 J j/l—X 2 sin 2 <p 2j/l —X 2 ’ 
0 
die Grenzen liegen um so enger beisammen, je näher ?e an Null ist. 
271. Der erste Mittelwertsatz. Die zu integrierende Funktion 
lasse sich in zwei Faktoren cp{x), tp(x) zerlegen; von beiden setzen wir 
voraus, daß sie in dem Integrationsintervalle (a, b) einschließlich der 
Grenzen endlich und stetig bleiben, von dem einen Faktor, z. B. ij>{x), 
überdies, daß er daselbst nirgends negativ (oder positiv) sei. 
Bezeichnet nun m den kleinsten, M den größten der Werte, welche 
tp{x) in (a, 6) annimmt, so ist für alle Werte von x aus diesem Inter- 
va ^ e m tp (x) <i M } 
wobei das Gleichheitszeichen nicht durchgehends Geltung hat; für solche 
Werte von x ist also auch, wenn -ip(x) beständig positiv, 
rp (cc) if>(x) ^ M4)(x) 
und daher 
(21) 
Demnach gibt es notwendig eine zwischen m und M gelegene Zahl 
/r von solcher Beschaffenheit, daß geradezu 
b b 
J'fpix) 4>(x) dx — pj i(t(x) dx. (22) 
a a 
Weil (p(x) als stetig vorausgesetzt wurde, so erreicht es den Wert p