272. Der zweite Mittelwertsatz 
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schließlich: 
t»- 
1 • 2 • • • (n — 2) 
f i ' ri ~ v >{x -\-h — t)dt 
h n ~ i 
1 . 2 • • • (n — 1) 
fl 
Bildet man die Summe dieser Gleichungen und beachtet dabei, daß 
ff(x 4 h — t) dt= { — fix + h — ¿)}*= f{x + ä) — fix), 
so ergibt sich: 
fix + Ti) = fix) 4 h fipc) 4 f'(*) + 17TT3 /"'0) + 
fl 
f-’" ”(*) +/i.2,.r.(l_i) + h-t) dt. 
(24) 
Man kommt also auf diesem Wege zur Taylorschen Formel (91, (6)), 
wobei das Restglied in der Gestalt eines bestimmten Integrals erscheint. 
Durch Anwendung des vorstehenden Mittelwertsatzes kann daraus die von 
Lagrange angegebene Restformel (91, (7)) gewonnen werden; zerlegt 
man nämlich die Funktion unter dem Integralzeichen in die Faktoren 
_ und /!")(# 4-h — t) und integriert den ersten, so hat man 
1 • 2 — x) 
nach Formel (23) zu setzen 
u 
C t«- 1 
J 1-2 ... (w —1) 
/'(") (# -f /( -- ¿) dt 
h n 
1-2 • • • w 
- /' W (^ 4 Ä — #Ä) , 
wobei 0 <# < 1; schreibt man für 1 — das wieder ein positiver echter 
Bruch ist, 6, so ergibt sich tatsächlich die endgültige Form 
-¡44/*■>(*+9Ä). 
272. Der zweite Mittelwertsatz. Die zu integrierende Funktion 
lasse sich in zwei Faktoren cp ix), ifix) zerlegen, von welchen vorausge 
setzt wird, daß sie in dem Integrationsintervalle (a, b) einschließlich der 
Grenzen eindeutig, endlich und stetig seien, daß ferner einer davon, z. B. 
ip{x), monoton verlaufe (17), d. h. entweder niemals abnehme oder niemals 
zunehme, so daß difrix) keinen Zeichen Wechsel erfährt, während x von a 
nach b läuft.