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III. Abschnitt. § 3. Integration unendlicher Reihen 
J f(x)äx = J*s n (x)dx + fr n (x) dx, 
a a a 
und weiter ist auf derselben Grundlage 
5 6 6 b 
Xs n (x) dx 'foipc)dx + fix (x)dx + \-J fjx) dx = SJx). 
a a ‘ a a 
Dem Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz gemäß läßt sieb zu 
einem beliebig klein festgesetzten positiven s eine natürliche Zahl m be 
stimmen derart, daß' für jedes x, wofür a <^x <¡6, 
! n,0)! < 
so lange n^>m\ daraus folgt, daß 
s 6 
| j r n (x)dx < s I dx ==■ s(b — a) 
und 
v 
/«• 
x)dx 
S n (x) < £• (h — a) 
für jedes n > m. Daß aber der Unterschied zwischen J f(x)dx und S n (x) 
a 
dadurch, daß man n groß genug wählt, dem absoluten Betrage nach unter 
jede beliebig klein festgesetzte positive Zahl gebracht werden kann, ist 
gleichbedeutend mit der Aussage: 
6 
j f(x)dx — lim S n (x), 
a « = +« 
d, h. wenn man die Bedeutung von S n (x) ins Auge faßt, 
6 6 6 5 
fm dx =j f 0 (x)dx +f f x (x)dx -f J*f 2 (x)dx -| . 
(3) 
Den in dieser Formel enthaltenen Sachverhalt bezeichnet man als 
den Satz von der gliedweisen Integration. Es sei bemerkt, daß zu seiner 
Geltung die gleichmäßige Konvergenz der zu integrierenden Reihe nicht 
notwendige, sondern bloß hinreichende Bedingung ist. 
Man braucht nur die untere Grenze unbestimmt zu lassen und die 
obere als variabel anzusehen — beide Grenzen selbstverständlich auf das