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III. Abschnitt. § 3. Integration unendlicher Reihen 
und darin ist 
J. 
(10) 
F(k, cp) = j 
dcp 
k 2 sin* <p } 
(5) 
wo die obere Grenze cp jenen Bogen aus dem Intervalle ^0, bedeutet, 
welcher der früheren oberen Grenze x entspricht; bei cp — — , was dem 
früheren x = 1 entspricht, zeigt nämlich diese Form nichts Besonderes 
mehr. (4) ist die algebraische, (5) die trigonometrische Form des ellip 
tischen Normalintegrals erster Gattung, das bei vielen Anwendungen der 
Analysis auf Geometrie und Mechanik auftritt; die obere Grenze cp heißt 
die Amplitude, h der Modul des Integrals. 
Um die Berechnung in der Gestalt (4) durchzuführen, entwickelt 
man (1 — h 2 x 9j )~^ in eine Potenzreihe, was für alle Werte 0<i£ 2 <^l zu 
lässig ist, da h 2 < 1 vorausgesetzt wird; man erhält 
(1 - l 2 x 2 )~% = 1 + 4 ¥x 2 + ~~¥x l + 
und daraus weiter 
X 
I 
dx 
V(i - * 2 )(i 
(6) 
T C X%Pdx /7^ 
0 
die Werte aller dieser Integrale sind durch die Formel 257, (35) be- 
1 • 3 ... (2 p — 1) 
wobei 
stimmt, indem 
2 p 
2 • 4 ., . 2 p 
arcsm x 
]/'l — tf 2 ( r 9p- 1 2 P 1 r ip- 
2» ' 2p 2 
+ 
2p 
(2 p — l)(2p 
31 
x 2 ^-'°-\ + 
(2p — 1) • . . 3 
#} ist. 
(8) 
(2p~2)(2p — 4)" 1 1 (2^) — 2)... 2 . 
Geht man von der trigonometrischen Gestalt (5) aus und entwickelt 
(1 — Je 2 sin 2 cpf - = 1 + ~ sin 2 <P + \ 4 ^ sin 4 9> + * • •> 
so kommt ^;j^=4=== = J 0 + + • • • (9) 
o 
& 2 sin 2 qp