282. Das Integral als Funktion einer seiner Grenzen 
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Die geometrische Darstellung der Funktion 
X 
J*f(x)dx ist, 
a 
wenn man 
y = fix) als Gleichung einer Kurve CM (Fig. 136a) in rechtwinkligen 
Koordinaten auffaßt, durch die Fläche AP MC gegeben. 1 ) Bei dieser 
Auffassung sagt die Gleichung (1), der Differentialquotient der Fläche 
AP MC in bezug auf die Endabs'zisse OP = x sei die Endordinate PM, 
und das Differential dieser Fläche das Rechteck aus der Endordinate mit 
dem Differential jener Abszisse. 
Wird dieses letztere Differential 
als positiv festgesetzt, so ist das 
Flächendifferential positiv oder 
negativ, stellt also eine Zu- oder 
eine Abnahme der Fläche vor, 
je nachdem f(x) > 0 oder f(x) < 0; den Stellen, wo f(x) = 0, entspre 
chen also im allgemeinen extreme Werte der Funktion 
j f(x)dx. 
o 
Auch ein Integral mit variabler unterer Grenze x, wie 
6 
J)f(x)dx, 
X 
definiert eine Funktion dieser untern Grenze x, und ihr Differential 
quotient ist X X 
D ,J fit)dt = D X {-J fit)dt}=- fix). (2) 
x b 
Man spricht dies auch dahin aus, der Differentialquotient eines bestimm 
ten Integrals nach seiner unteren Grenze sei der zu dieser Grenze gehö 
rige Wert der Funktion unter dem Integralzeichen, aber mit entgegen 
gesetztem Zeichen genommen. 
Das zugehörige Differential stellt, wenn dx als positiv festgesetzt 
wird, eine Ab- oder Zunahme der durch das Integral dargestellten Fläche 
vor, je nachdem f(x)> 0 oder f(x) < 0. 
1) In allgemeinster Fassung bedeutet das Integral die algebraische Summe 
der von dem Linienzug AP MG umschlossenen Flächen, die im positiven Sinne 
umfahrenen positiv, die im entgegengesetzten Sinne umfahrenen negativ genom 
men (Fig. 136 b). 
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