148 HI. Abschnitt. § 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
283. Das Integral als Funktion eines Parameters der zu 
integrierenden Funktion. Die Funktion unter dem Integralzeichen 
enthalte außer der Integrationsyariablen x einen veränderlichen Para 
meter y und sei in dem Intervalle (a, b) integrierbar, welchen Wert aus 
dem Intervalle (c, d) man dem Parameter y erteilen mag; dann hängt der 
Wert des Integrals h 
a 
von dem besonderen Werte ab, welchen man dem y erteilt hat, mit an 
deren Worten, dieses Integral definiert eine Funktion von y auf dem Ge 
biete (c, d)] bezeichnet man sie durch <&(y\ so gilt für sie die Definition: 
b 
a 
Zunächst läßt sich zeigen, daß &(y) eine stetige Funktion von y in 
(c,d) ist, wenn die gleiche Eigenschaft für f(x,y) gilt bei jedem Werte x 
aus (a, b). Denn diese Stetigkeit von f(x, y) hat den Sinn, daß sich zu 
einem beliebig klein festgesetzten positiven s ein hinreichend kleines 
positives rj muß bestimmen lassen derart, daß 
1 f(%, V + *) - ffa y) | < « 
(a x b) 
ist, wenn nur y und y -f Je dem Intervalle (c,d) angehören und W<g 
ist. Da nun b b 
a 
a 
(4) 
b 
a 
so ist unter den gemachten Voraussetzungen 
6 
a 
die linksstehende Größe kann also bei endlichem (a, b) unter jeden posi 
tiven Betrag gebracht werden, daher ist tatsächlich &(y) stetig im In 
tervalle (c, d). 
Die Bedingungen dieses Satzes sind sicher erfüllt, wenn f{x,y), als 
Funktion zweier unabhängigen Variablen aufgefaßt (45), stetig ist in 
dem durch die Relationen 
a <^b, c <Ly <id bezeichneten Bereiche.