154 III. Abschnitt. § 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
so oo 
und die beiden Integrale J*f y (x,y)dx,J*fy y (x,y)dx existieren für y > 0; 
ersteres vermöge 276, 4., letzteres, weil 
c 
\J 
00 
:/• 
xe~ yx sin xdx | < / xe~ yx dx = — { — -— j + ^ 
o o 
xe 
■yx 
Ö 0 
Nach der eben zitierten Formel ist 
oo 
i fr- 
y J 
yx dx = —» • 
V* 
1 
d?'{y) = — J*ß“ yr sin xdx 
o 
und daraus wieder folgt 
oo 
j*&(y)dy = #(oo) - ®(y) = — {arctgy} = arctgy —-J, 
y oo ^ 
insbesondere ^ <D'(y)dy = &(oo) — (D(0) = — ~ • 
0 
Nun aber ist auf Grund der vorausgeschickten Betrachtung 
oo 
*(«>)-o, <P(0 
0 
damit ergeben sich die wichtigen Formeln: 
oo 
(t/) = 3~ yx dir = arctg -- 
o 
00 
ß 
und 
sin X -, n 
-dx =- 7r 
x 2 
(9) 
(10) 
2. Das Integral Jdx hat allerdings für jedes y einen bestimm- 
o 
ten Wert, aber die Differentiation nach y unter dem Integralzeichen ist 
bei ihm nicht zulässig; denn setzt man = f(x,y), so ist 
f y ix, y) - cos yx, f yy 0, y) = — x sin yx