156 III. Abschnitt. § 4, Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
eine Funktion, welche gleich 1 ist, so lange 0 y < 1, gleich — bei 
y = 1 und gleich 0, so lange 1 < y. 1 ') 
3. Von der Existenz des Integral wertes 
oo 
<P(y) =J e~ x ~ cos 2yxdx 
0 
überzeugt man sich nach der in 278 entwickelten Methode durch Zer 
legung des Integrationsgebietes in die Teile: 
( 0? 4U|)> (4 j y\> 4\y\)> 
3 7t 5 % 
4| y\ } 4| y 
,)> 
Die Differentiation unter dem Integralzeichen ist statthaft; denn es ist 
fix, y) — e~ x ‘ l cos 2yx, f y (x,y) = — 2xer x2 sin 2yx, 
f yy (x,y) = — 4x 2 e~ x ' cos 2yx, 
00 00 
und die beiden Integrale Jf y (x, y) dx, J*]f yy (x, y)dx haben bestimmte Werte; 
0 0 
os 
denn das erste ist dem Betrage nach kleiner als J*2xe~ x ~ dx = 1 und das 
0 
00 
zweite kleiner als der Wert von 4J*x^er^dx, der auch endlich ist 
(Schlußsatz von 277). 
Es ist also 
&(y) = —- f 2xe~ x,i sin 2yx dx = {e~ x * sin 2yx) — %yj e~ x " cos 2yxdx } 
0 
d. h. 
daraus folgt = — 2y 
®\y) = - 
&(y) 
®(y) ' 
und 
mithin ist 
0 
00 
&(y) = @(p)e~y 2 = e~ ^ I er^dx. 
(11) 
Die Wertbestimmung des obigen Integrals hängt also von einem 
neuen Integrale ab, dessen Wert wir sogleich finden werden. 
1) P. L. Dirichlets erster Diskontinuitätsfaktor.