158 HI. Abschnitt. § 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
Das durch die Formel (12) bestimmte Integral spielt in vielen Ge 
bieten der Anwendung eine wichtige Rolle. Durch die Substitution 
x — t]/y verallgemeinert lautet die Formel: 
oo 
0 
(y > 0) ; 
differentiiert man beiderseits n-mal in bezug auf y, so kommt 
00 
zustande, und wird y = 1, t = x gesetzt, so ergibt sich die Formel: 
00 
(14) 
o 
Hingegen ergibt sich durch partielle Integration 
oo 
00 
00 
und durch n-malige Wiederholung des Vorgangs 
oo 
(15) 
0 
wie auch auf Grund von 277, (21) durch die Substitution x = ¡f 2 hätte 
gefunden werden können. 
Beispiel. Die kinetische Gastheorie weist nach, daß die Anzahl der 
Moleküle in der Volumeinheit, deren Geschwindigkeit zwischen c und 
c + de liegt, ausgedrückt ist durch das Produkt cp(c)dc, wo 
cp fri) = 4:7t Ac 2 e a ' 
das sogenannte GeschwindigkeitsVerteilungsgesetz bedeutet. 
Wenn es sich nun um die mittlere Geschwindigkeit der Moleküle 
handelt, so ist die Summe aller Geschwindigkeiten nach dem Maße ihres 
Vorkommens zu bilden und durch die Anzahl der Moleküle zu dividieren. 
Der Zähler dieses Quotienten ist durch das Integral von ccp(c) de über 
alle möglichen Geschwindigkeiten, also durch