286, Integration unter dem Integralzeichen. Zweifache Integrale 
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b d b d 
andererseits 
f dxj f(%, V)dy = /"{ a ^ ,J/) } dx 
a 
die beiden Endausdrücke liefern aber ausgeführt: 
(b, d) — $>(a, d) — <b(b, c) -f c), 
In dieser Gleichung spricht sich der wichtige Satz aus: Sind an der 
im Gebiete (1) stetigen Funktion f (x, y) nacheinander die Integrationen in 
bezug auf x und y zwischen den bezüglichen Grenzen a, b, und c, d zu 
vollführen, so gelangt man zu demselben Resultate, in welcher Reihenfolge 
die Integrationen auch ausgeführt werden. 
Die Differentialrechnung besitzt einen hierzu analogen Satz (52). 
Analytische Ausdrücke von dem Baue, wie ihn die beiden Seiten der 
Gleichung (4) aufweisen, bezeichnet man als zweifache Integrale4) Ihre 
Ausrechnung führt auf die Ausführung zweier Integrationen in dem bis 
herigen Sinne oder zweier einfachen Integrationen zurück. 
Die Ausführung der durch (2) vorgeschriebenen Integration des 
b 
Integrals j f (x, y) dx nach dem Parameter y in der durch (3) angezeig 
a 
ten Weise nennt man Integration unter dem Integralzeichen. 
Anders verhält es sich, wenn die Funktion G?(y), an welcher man 
die Integration zwischen vorgeschriebenen Grenzen c, d vornehmen soll, 
gegeben ist durch ein Integral 
Vi{y) 
<Po (V) 
bei dem auch die Grenzen von dem Parameter y abhängen: formell ist 
das Resultat, sofern ein solches vorhanden ist, in der Art 
1) 0. Stolz (Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, III, 1899), 
gebraucht dafür den von P. du Bois-Reymond vorgeschlagenen Namen „zwei 
maliges Integral“. 
Ozuber, Vorlesungen. II. 4. Aufl. 11