286. Integration unter dem Integralzeichen. Zweifache Integrale 
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Übrigens kann aus dieser Formel die des vorigen Beispiels mittels 
der Substitution x — e~ t abgeleitet werden. 
3. Für jedes y > 0 hat man (276, 4.) 
oo 
I e~ yx cos bxclx ===== -i-T-rs 
J V -f- 
o 
00 
C b 
I e~ yx sin bxdx = - -g -rg: 
J V + 6 ’ 
o 
sind demnach a, ß irgend zwei positive Zahlen, so darf man nach y zwi 
schen den Grenzen a, ß integrieren und erhält, wenn man die Integration 
links unter dem Integralzeichen vornimmt — von der Statthaftigkeit des 
Vorgangs kann man sich leicht überzeugen — 
oo 
, 7 1 7 ß 2 +b~ 
cos bxdx = — l ry 
2 or ö 8 
sin bxdx == arctg ~— arctg 
CC 
6 
(«>0, ß>0). 
Geht man nun über zu lim « = -f 0 und lim ß = + oo, so hat die 
rechte Seite der ersten Gleichung den Grenzwert + oo, die rechte Seite 
der zweiten Gleichung aber den Grenzwert oder ——, je nachdem b 
u u 
eine positive oder eine negative Zahl ist. Hiernach gelten die Formeln: 
cos bx 
d x = + oo 
ß 
sin bx 
x 
dx 
(P> 0) 
(p<0), 
die letztere ist 285, 2. auf anderem Wege gefunden worden. 
4. Das Integral 
J ===== j e~ x2 dx, 
li