166 III. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
Wird die Zerlegung T von P in der Weise weiter geführt, daß man 
zwischen die Werte x k und y x neue einschaltet, so wird SJT) im allge 
meinen wachsen, ohne jedoch die obere Grenze MP überschreiten zu 
können; S 0 (T) hingegen nimmt ah, kann aber nicht unter mP herab 
sinken; folglich kommen beide Summen einander immer näher und kon 
vergieren gegen eine gemeinsame Grenze, da ihre Differenz 
s 0 m - S.VO = - m v ) P (9) 
wegen der Stetigkeit von f(cc, y) schließlich unter jeden noch so klein 
gewählten Betrag s herabsinkt. Diese gemeinsame Grenze ist aber zu 
gleich der Grenzwert von S(T)- 
Um dies letztere näher darzulegen, gehe man vom Mittelpunkt £¿,/1) 
von ¿J k X P aus und beachte, daß sich wegen der Stetigkeit von f(x, y) im 
ganzen Bereiche P zu einem beliebig klein festgesetzten positiven X ein 
hinreichend kleines positives u bestimmen läßt derart, daß 
i f i. x 7 V) / ^ ? 
so lange \x — $ k \, y — t) r kleiner sind als p (15); ist also die Zerlegung 
von P so weit fortgeschritten, daß alle 4 kl P nach beiden Richtungen eine 
unter 2p liegende Ausdehnung haben, so ist auch 
i n \i- 
- f(h, *k) ! < A 
M k ,- 
- f(h, h) i < 
somit 
M hl - 
— rn hl < 2a, 
daher 
Ai?) - 
S U (T)<2X.P\ 
wählt man 
also 21 < -p, so wir 
d in der Tat 
S 0 (T) 
~ 8 U (T) < s. 
Daß der gemeinsame Grenzwert von S U (T), S(T), S 0 (T) unabhängig 
ist von der Art, wie man P teilt, wenn nur schließlich alle ö k und s, 
gegen Null konvergieren, ergibt sich aus der Tatsache, daß jedes S u kleiner 
ist als das auf dieselbe oder eine andere Zerlegung gegründete $ 0 ; der 
Beweis hierfür ist genau so zu führen wie in 226, 4. 
Man definiert nun den lim S(T) als das Doppelintegral der Funktion 
f(oc, y), ausgedehnt über das Gebiet P, und gebraucht dafür das Zeichen 1 ) 
Jf(x,y)dP oder j*J''f(x,y)dxdy. (10) 
p p 
1) Auch die Bezeichnungen g, f(x, y) d P und Qf(x,y)dxdy kommen vor.