288. Auflösung des Doppelintegrals in ein zweifaches Integral 167 
Der unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck heißt das Ele 
ment des Doppelintegrals, clP oder dxdy das Element des Integrations 
geibiets. Da hei sceometrischer Interpretation dieses letztere duich eine 
ebene Figur, hier durch ein Rechteck, dargestellt ist, so nennt man ein 
Doppelintegral auch ein Flächenintegral, zum Unterschiede davon ein 
einfaches bestimmtes Integral ein Linienintegral. 
288. Auflösung des Doppelintegrals in ein zweifaches 
Integral. Der in Behandlung stehende Fall bietet das einfachste Bei 
spiel eines Doppelintegrals dar, das sich auf zwei nacheinander folgende 
Integrationen, also auf ein zweifaches Integral zurückführen läßt. 
Es handelt sich um die Bestimmung des Grenzwertes 
lim 
führt man den Grenzübergang zuerst in bezug auf x aus, so entsteht 
‘i % 1 
2 Fm 2/TI*, vi) £ ij f( x > Vi) dx, 
i 1 1 a 
und hieraus durch Vollziehung des Grenzübergangs in bezug auf y 
d b 
fdyj f(x,y)dx. (11) 
c a 
Macht man die Grenzübergänge in der andern Ordnung, so ergibt 
sich das zweifache Integral 
b d 
J dx j f{x, y)dy. (12) 
a c 
Die Wertgleichheit dieser beiden Integralausdrücke ist in 286 nach 
gewiesen worden; beide bestimmen den Wert des Doppelintegrals (10). 
Erfolgt die Ausrechnung nach Vorschrift von (11), so geschieht die 
erste Integration bei festem y in bezug auf x, geometrisch gesprochen, 
längs einer das Integrationsgebiet durchsetzenden zur x-Achse parallelen 
Transversalen wie UV (Fig. 138), die zweite nach y zwischen den beiden 
äußersten Lagen dieser Transversalen. Nach Vorschrift von (12) geschieht 
die erste Integration bei konstantem x, etwa längs QB, die zweite nach 
x zwischen den beiden äußersten Lagen von QB.