168 HI. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
289. Beliebig begrenztes Integrationsgebiet. Es liegt nun 
nahe, den Begriff des Doppelintegrals dahin zu verallgemeinern, daß man 
ein beliebig begrenztes Integrationsgebiet P (Fig. 139) 
zugrunde legt, auf welchem die Funktion f(x, y) end 
lich und stetig ist. Die Integration von f(x, y) er 
streckt sich dann auf solche Wertverbindungen xjy, 
welchen Punkte innerhalb und am Rande von P ent 
sprechen; analytisch sind derlei Wertverbindungen 
dadurch gekennzeichnet, daß sie einer oder mehreren 
Relationen von der Form ip(x, y) 0 (13) 
genügen; so würde beispielsweise, wenn das Integrationsgebiet ein um 0 
mit dem Radius P beschriebener Kreis wäre, diese Relation 
x 2 +iy' 2 -B 2 £ 0 
lauten, dagegen durch die drei Relationen 
x 0, y 0, x* + y 2 — B? <1 0 
zu ersetzen sein, wenn nur über den ersten Quadranten dieses Kreises zu 
integrieren wäre. 
Am einfachsten gestaltet sich die Darstellung eines solchen Doppel- 
integrals, wenn die Randkurve C von P durch jede Transversale parallel 
zu einer der Koordinatenachsen nicht öfter als zweimal geschnitten wird. 
Trifft dies bei den Transversalen parallel zu OY zu, so führt man die 
Integration nach y bei festem x längs der Transversale QB, also zwischen 
Grenzen durch, welche durch die Ordinaten der Punkte Q, B von G dar 
gestellt und daher Funktionen von x sind, die mit <p 0 (x), (p t (x) bezeich 
net werden mögen; die Integration dieses Integral wertes 
<Pi (*) 
J f 0, y) äy 
<Po (*) 
in bezug auf x geschieht nun auf jener Strecke (a, b), welche durch die 
parallel zu OK an C geführten Tangenten (oder äußersten Linien) auf der 
X-Achse ausgeschnitten wird, und liefert den endgültigen Ausdruck 
* (piO) 
J dx j f(x, y) äy (14) 
3 rp a (x) 
fj f(x, y) dxdy. 
für das Doppelintegral 
(15)