170 HI. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
rechtwinklig gebrochenem Umfange; diese Figur ändert sich aber mit 
fortschreitender Teilung, nimmt an Größe zu, weil solche Teile, die bei 
einem früheren Stadium der Teilung fortblieben, immer mehr und mehr 
einbezogen werden, und sie nähert sich dem Gebiete P als Grenze, so 
daß auch der gemeinsame Grenzwert von S u , S, S 0 sich auf das ganze 
Gebiet P bezieht; dieser Grenzwert, nach dem in 288 entwickelten Vor 
gänge bestimmt, fällt aber genau mit dem Ausdrucke (14) oder (16) zu 
sammen. 
290. Geometrische Interpretation. Eine wichtige geometrische 
Bedeutung kommt dem über ein Gebiet P erstreckten Doppelintegrale 
einer Funktion f(x, y) zu, wenn man ihre Werte als Applikaten einer 
krummen Fläche auffaßt, deren Gleichung also 
* = ffa y) ( 17 ) 
ist, und annimmt, daß z im Gebiete P niemals negativ werde. 
Das Produkt f(% k , Vi)^h £ i bedeutet dann das Volumen eines Prisma 
mit der Basis j p = d k s t 
und der Höhe f($ k , v a ) = z k<l , 
welches die vom Punkte % k /rj v der in efgh beliebig angenommen werden 
kann (Fig. 138 und 142), ausgehende Applikate von (17) ist. Die Doppel- 
summe (8), d. i. 2^,4/, 
ist das Volumen eines Körpers, der nach unten durch P, seitlich durch 
vertikale, nach oben durch horizontale Ebenen verschiedener Höhenlage 
begrenzt ist. 
Ben Grenzwert dieser Doppelsumme, also das über P ausgedehnte 
Doppelintegral der 'Funktion f(sc, y), d. i. 
ff,zdxdy, (18) 
p 
erklärt man als das Volumen des über P als Basis ruhenden prismatischen 
oder zylindrischen Körpers, dessen obere Begrenzung durch die Fläche (17) 
gebildet wird. 
Das bestimmte Doppelintegral löst hiernach eine Aufgabe der Geo 
metrie, welche die elementare Mathematik unerledigt läßt: die Bestim 
mung des Volumens eines krummflächig begrenzten Körpers. 
Ändert die Funktion f(x, y) innerhalb des Integrationsgebietes P 
ihr Vorzeichen, indem sie beispielsweise längs der Kurve F (Fig. 141)