290. Geometrische Interpretation eines Doppelintegrals 
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durch Null geht, innerhalb derselben positiv, zwischen ihr und dem Rande 
negativ ist, so bedeutet das Integral (18) die Differenz aus dem über dem 
Innern von r liegenden Volumen und jenem, welches 
unter dem Ringe zwischen P und C sich befindet. 
Die Ausrechnung des Integrals (18) durch sukzes 
sive Ausführung zweier Integrationen hat bei der geo 
metrischen Deutung den nachfolgenden Sinn. 
Integriert man f(x,y) bei festem x in bezug auf y 
zwischen den Grenzen c, d (Fig. 138 und 142), so ist 
(i 
I fix, y) dy = area QBTS — u 
C ' 
die Fläche eines Querschnittes des Körpers, geführt im Abstande x 
parallel zur «/#-Ebene; weiter gibt 
d 
dx f f(x, y) dy = udx 
C 
das Volumen eines zur x-Achse parallelen Zylinders, welcher jenen Quer 
schnitt zur Basis und die Höhe dx hat; der Grenzwert der Summe dieser 
Zylinder, d. i. b rl * 
j dxf jf{x, ij) dy == fudx, (19) 
a c a 
ist das Volumen des ganzen Körpers. 
Bei der umgekehrten Reihenfolge der Integrationen ergibt sich das 
selbe Volumen als Grenzwert der Summe von Zylindern, welche zur zx- 
Ebene parallele Querschnitte zu Grundflächen haben und der «/-Achse 
parallel sind. 
Diese Betrachtung trifft auch dann zu, wenn das Gebiet P krumm 
linig begrenzt ist. 
Das Element 
z dx dy 
des Doppelintegrals (18) stellt, mit Ver 
nachlässigung von Größen höherer als 
der zweiten Ordnung in bezug auf dx 
und dy, das Volumen eines prismati 
schen Säulehens vor, das über dem Ele 
mente dxdy = efgJi ruht und oben T'