291. Einführung neuer Variablen in einem Doppelintegral 
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(VJ (v+d:vj 
Durch (21) ist jedem Punkte x/y der Ebene XOY (Fig. 143) ein 
bestimmter Punkt u/v derselben Ebene, einem Kontinuum von x/y-Punk 
ten wieder ein Kontinuum von w/VPunk- 
ten, insbesondere dem Gebiet P mit sei 
ner Randkurve G ein Gebiet P' mit der 
Randkurve C' zugeordnet. Es ist eine 
Folge der Ein-Eindeutigkeit und Stetig 
keit der Transformation, daß sich aus 
den Gleichungen 
clx 
dy 
c cp 
d’U 
du -f 
dy> 
du 
- du 
dcp 
dv 
(hp 
dv 
dv 
dv 
Fig. iiS. 
an jeder Stelle zu gegebenen Werten von dx, dy bestimmte Werte von 
du, dv ergeben und umgekehrt; mithin kann'die Determinante 
J 
dcp 
dcp 
du 
dv 
dxp 
dtp 
du 
dv 
(22) 
an keiner Stelle von P' verschwinden, muß also wegen ihrer Stetigkeit 
im ganzen Gebiete P' dasselbe Zeichen beibehalten. Man nennt diese 
Determinante die Funktionaldeterminante oder, nach dem Urheber dieser 
Benennung, die Jacobische Determinante der Funktionen cp,ip und be 
zeichnet sie kürzer nach dem Vorschläge Donkins mit 
S(cp, V) _ 
d(u, v) 
Denkt man sich das neue Gebiet P' durch Gerade parallel zu den 
Achsen in rechteckige Elemente zerlegt, deren eines e'f'gli'= dP' sei, 
so entspricht dem eine Zerlegung des ursprünglichen Gebiets P durch 
zwei Systeme im allgemeinen krummer Linien in Elemente dP = efgh, 
die bei sehr klein angenommenem du, dv als geradlinige Parallelogramme 
angesehen werden können, da die Teilungslinien wegen der Stetigkeit 
der Ableitungen von cp, xp ihre Richtung stetig und daher innerhalb kur 
zer Strecken sehr wenig ändern. 
Bei dem Übergang von e zu f, wobei v konstant bleibt, geht e{x/y) 
nach f und seine Koordinaten ändern sich um 
dcp 
d 1 x 
d u 
du 
d,y 
du: 
du