292. Beispiele 
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das Element desselben ist-, die Grenzen sind der geometrischen Bedeutung 
der Parameter u, v entsprechend zu bestimmen. Diesen Sinn hat es, wenn 
wir dem transformierten Doppelintegral wieder dasselbe Gebiet zuweisen. 
292. Beispiele. 1. Ist in einem Doppelintegral die zu integrierende 
Funktion f(x, y) = 1, so stellt es, dem Begriff gemäß, die Größe des In 
tegrationsgebiets P dar. 
Von dieser Bemerkung ausgehend, soll die Größe der von der Ellipse 
(a L x + \yf -f (a 2 x -j- \yf = № (25) 
umschlossenen Fläche bestimmt werden. Zu diesem Ende hat man das 
über diese Fläche P erstreckte Integral 
auszu werten. (26) 
Führt man an dem Integral die projektive Transformation 
a x x -f b x y = u 
<h x + b 2 y = v 
aus, durch welche die Ebene mit einem System paralleler Geraden (w) 
und einem zweiten System paralleler Geraden (ü) überzogen und in par- 
allelogrammatische Elemente zerlegt wird, so ergibt sich aus der Auf 
lösung nach x, y: b i u — 'b l v 
worin 
V = 
I) 
a i u-\-■ a x v 
I) “ 
j <\ \ ; 
die Jacobische Determinante der Substitution: 
J 
B 
~ ] h 
B 
1 
a i 
% 
\ — a 2 
a t 
~ W 1 
K 
h 
B 
B 
l 
B 
mithin ist J I dx dy = dudv = J* f clu dv. 
p p' ^ p 
Das erübrigende Integral stellt aber die Größe des transformierten 
Gebietes dar, dessen Randkurve zufolge ihrer Gleichung 
u 3 + = P