176 III. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
ein Kreis vom Radius h ist; folglich ist 
f^fdu dv = 7ck 2 . 
' p' • 
71 k 2 
Die Ellipse (25) hat also den Flächeninhalt ^- . 
2. Auf das Integral / / f(x, y) dx dtj soll die Transformation 
(27) 
X — r COS fp 
y = r sin cp 
ausgeübt werden, wobei r, cp die neuen Variablen sind. Man bezeichnet 
diese Transformation in bezug auf das räumliche Koordinatensystem als 
Einführung semipolarer oder zylindrischer Koordinaten. 
Die Jacobisehe Determinante 
0 cc v cos g; sinijp 
J = . i = r 
I — r sm cp r cosrp 
ergibt für das dieser Transformation entsprechende 
Element des Integrationsgebietes 
dP = r dr dcp-, (28) 
die r-Kurven (Linien mit konstantem r) sind Kreise 
um den Ursprung, die cp-Kurven (Linien mit konstan 
tem cp) Strahlen aus dem Ursprünge; dP ist der Ausdruck für einen 
Kreisringsektor (Fig. 144). 
Demnach ist 
fff ix, y) dx dy -fff (r cos cp, r sin 95) r dr dcp j 
o h (< P ) ’ (29) 
-fdfffO cos cp, r sin cp)r dr; 
fPo "0 (<p) 
(o 0 {cp), co 1 (cp) sind die zu den Punkten M 0 , M 1 gehörigen Werte von r: 
cp 0 , G? werden durch die aus 0 an C gezogenen Tangenten bestimmt. 
3. Unter elliptischen Koordinaten eines Punktes x/y versteht man ein 
Wertepaar ufv, das mit x/y durch die Gleichungen 
Tig. 144. 
X 
U 2 u 2 
+ 
zusammenhängt, wobei u auf das Intervall (c, 00), v auf das Intervall 
(0, c) angewiesen ist. Unter diesen Voraussetzungen stellt die erste Glei