294. Das dreifache Integral 
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§ 6. Drei- und mehrfache Integrale. 
294. Das dreifache Integral. Wenn man auf eine Funktion der 
Variablen f(x, y, z) zuerst Integration in bezug auf z allein zwischen festen 
oder von x, y abhängigen Grenzen, auf das Resultat Integration in bezug 
auf y zwischen festen oder von x abhängigen Grenzen ausübt und das 
neue Resultat schließlich nach x zwischen festen Grenzen integriert, so 
heißt das so entstandene Gebilde ein bestimmtes dreifaches Integral jener 
Funktion. Selbstverständlich ist der Begriff nicht an die Reihenfolge der 
Variablen gebunden. 
Wichtiger als die formale Entstehung ist die Bedeutung des Inte 
grals als Grenzwert einer dreifachen Summe. 
Ist nämlich die gegebene Funktion f(x, y, z) für alle Werte der 
Variablen, welche die Bedingungen: 
a x ff b \ 
c ^ V ^ d} (30) 
g <[ 2 <£ h) 
erfüllen, also auf einem Gebiete B, das geometrisch durch ein Parallel 
epiped mit zu den Koordinatenachsen parallelen Kanten der Längen 
h — a, d — c, h — g dargestellt ist, eindeutig und stetig, so konvergiert 
die mit den arithmetisch geordneten Werten 
a — x 0 , (ii); x l} (£2)? ^2? • • •} Xp-u dp), ~ 
G = (.Vi), Vi, (v 2 \ y-2, ■ • •; 2/3-1, (%), y q = d 
9 ~ %0, (£1); #i; (£2); ^2; • • •; &r- l> (£r) ; Z r —h 
gebildete dreifache Summe % 
* g p 
^a^a&a*,, (3i) 
iii 
in welcher 
A x j — Xj Xj_ 1, Ay k = y k — y k _ 1) A,0 Z = — z l _ x 
ist, bei beständigem Wachsen der Zahlen p, q, r und beständiger Ab 
nahme aller Differenzen Ax,, Ay k , Az x 
gegen Null nach einer bestimmten Grenze; dieser Grenzwert ist es, den 
man als das dreifache über das Gebiet B ausgedehnte Integral der Funk 
tion f{x, y, 0) definiert und mit