182 
III. Abschnitt. § 6. Drei- und mehrfache Integrale 
JJJ f(x, y, z) äx dy dz 
(32) 
anschreibt. Daß der Grenzwert vorhanden ist, wenn f(x, y } z) die voraus 
gesetzten Eigenschaften besitzt, ergibt sich durch eine Schlußreihe, die 
der in 287—289 entwickelten völlig analog ist. Praktisch wird dieser 
Grenzwert dadurch erhalten, daß man auf die Funktion f(x,y,z) drei 
sukzessive Integrationen in dem eingangs erwähnten Sinne ausübt, z. B. 
die erste nach z zwischen den Grenzen g, /&; die zweite nach y zwischen 
c, d\ die dritte nach x zwischen a, &; oder in einer der noch möglichen 
fünf Reihenfolgen. 
Hiernach hat man für (32) nach Trennung der Integrationen in der 
Reihenfolge z, y, x die Darstellung 
d 
h 
(33) 
9 
a 
Der so festgelegte Begriff des dreifachen Integrals kann auch auf 
einen Raum R ausgedehnt werden, der beliebig begrenzt ist; wird die 
Begrenzung beispielsweise durch eine in sich 
geschlossene Fläche gebildet, deren Gleichung 
F(x, y, z) = 0 (34) 
ist, so kann die Auflösung in einfache Integra 
tionen ohne weiteres geschehen, wenn diese 
Fläche von Parallelen zu einer der Koordinaten 
achsen nicht öfter als zweimal getroffen wird. 
Gilt dies für die Parallelen zur z-Achse, so hat die 
erste bei festen Werten von x, y erfolgende Inte- 
o 
Fig. 147. 
gration zwischen jenen Grenzen zu geschehen, welche durch die Appli 
katen der zu xjy gehörigen Punkte M 0 , M 1 (Fig. 147) von (34) be 
zeichnet sind; bezeichnet man diese Auflösungen von (34) nachz in steigen 
der Größenordnung mit cp 0 (x, y), <p x (x, y) so gibt die erste Integration 
Vi (x,V) 
<po (*i V) 
Die nun erübrigende zweifache Integration hat zum Gebiete jenen 
Teil der #«/-Ebene, welcher durch den sichtbaren Umriß von (34) in dieser