296. Das w-fache Integral 
187 
x = r sin 9 cos cp j 
y = r sin 9 sin <p 
(41) 
z = r cos 9 ) 
ausgeübt werden. Man bezeichnet dies als den Übergang von rechtwink 
ligen Koordinaten zu räumlichen Polarkoordinaten. 
Aus der Jacobischen Determinante 
sin 9 cos cp, r cos 0 cos cp, — r sin 6 sin cp 
J = sin 9 sin cp, r cos 6 sin Cp, r sin 0 cos cp = r 2 sin 9 
cos 6, — r sin 9, 0 
ergibt sich das dieser Transformation entsprechende Raumelement 
dB = f l sin 9 dr d9 dcp. 
(42) 
Da die Flächen mit konstantem r Kugeln 
um 0, die Flächen mit konstantem 9 Kreiskegel 
mit der Spitze 0 und der Achse OZ, endlich 
die Flächen mit konstantem cp Ebenen durch 
die Z-Achse sind, so drückt dB (bis auf Größen 
höherer als der dritten Ordnung) einen von zwei 
Kugeln, zwei Kegeln und zwei Ebenen begrenz 
ten Körper (Fig. 149) aus. 
Hiernach ist schließlich 
fff f(x, y, £) dxdydz 
R 
-fffn r sin 9 cos cp, r sin 9 sin cp, r cos 9) r~ sin 9 dr d9 dcp; 
(43) 
die Grenzen der einzelnen Integrationen sind der Begrenzung von B an 
zupassen. 
296. Das w-fache Integral. Es unterliegt keiner Schwierigkeit, 
die Begriffsbildung, aus welcher das Doppel- und das dreifache Integral 
hervorgegangen sind, auf eine Funktion von mehr als drei, allgemein 
von n Variablen auszudehnen. 
Ist f(x t , x 2 , . . xf) eine solche Funktion und integriert man sie 
sukzessive nach den n Variablen in einer festgesetzten Reihenfolge, wobei 
die Grenzen einer Integration ei^weder feste Werte oder aber Funktionen 
derjenigen Variablen sind, nach welchen noch nicht integriert worden ist, 
X